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應重視學生證明命題能力的培養

廣東省五華縣橋江中學  宋仁尚

數學學科是基礎學科之一，要求學生應掌握這一學科的全面知識。這里就如何提高學生證明命題能力，談幾點粗淺認識。

一、命題證明是數學基礎知識中的難點。

九年義務教育課程標準實驗教科書——初中數學教材，知識點、難點不少。命題證明就是其中一個難點。在教材中，《證明一》、《證明二》、《證明三》里，從若干條公理及有關定義出發，證明了平行線、三角形及四邊形等圖形的一些命題。作為初中學生來說，初步接觸了在合理化的體系中的命題證明。也初步接觸了嚴格證明和相關的符號化表達。因為是初中學生，邏輯思維水平較薄弱，推理能力也相應較低，學習命題的證明也顯得有相當的難度。因此，教師不能忽視這一知識點，而應重視學生證明命題能力的培養。筆者根據多年的教學實踐，認為可以從如下幾方面入手。

二、培養學生證明命題能力的舉措。

1、正確選擇證明依據，確保命題證明的真實性。證明命題，依據什么證明命題，那些可以作為證明的依據，必須弄明白。教師應根據教材內容，讓學生在具體的情況中明確命題的證明依據，只能是有關的定義，所規定的公理及已經證明過的定理。      

A
B    D   C     圖1

1：求證：有兩個相等的三角形是等腰三角形。             

這個命題是教材里《證明二》中的內容。轉化為             

圖形和數學語言表述如下：

已知：如圖1，在△ABC中，∠A=∠C。             

      求證：AB=AC。                            

教學時，教師可讓學生回顧命題“等腰三角形

的兩底角相等”的證明思路：把△ABC轉化為兩個

全等三角形和轉化的方法與證明的依據。并讓學生思考“依據什么證明這個命題？”讓學生思考后就可能會出現：

第一，依據“ASS”證明：作△ABC的中線AD，證明：△ABD≌△ACD（AAS），得AB=AC。或作△ABC的角平分線AD，證明△ABD≌△ACD（AAS），得AB=AC。

所規定的公理及已證明過的定理中沒有“ASS”，“ASS”以前探索過的假命題，出現依據“ASS”證明，說明學生受前面知識干擾，思維誤正不少。為此，教師可抓住這個機會，引導學生對“ASS”的真假性進行回顧，進而辨析“用假依據證明命題能確保命題證明的真實性嗎？”這個問題。通過辨析讓學生明確：依據“ASS”證明是錯誤的，依據推論“AAS”證明才正確，因為“AAS”已經證明過的真命題。

因為學生知識暫不系統，建立合理化體系后選擇什么作為證明命題依據，學生是把握不準，常受以前探索過熟悉的命題的干擾，把沒有證明過的命題或假命題等作為證明命題的依據。因此，教師應對學生多作指導，讓學生領會選擇證明依據的方法，使他們能正確選擇證明依據，確保命題證明的真實性。

2、迅速確定證明思路。尋找證明思路是命題證明的重點，也是難點。證明命題時，學生對確定命題的證明思路常出現毫無頭緒的現象，教學時不失時機地教給學生尋找證明思路的方法，讓學生有章可循，有樣可照，逐步掌握證明思路，能有效地提高證明命題的速度，提高學生推理論證能力。

a、掌握一般的尋找方法。確定命題的證明思路時，教師應根據命題的不同情況，讓學生掌握一般的尋找方法。如：有的命題，教師可引導學生通過回顧探討命題時使用的方法中確定；如果碰上許多互逆命題的證明思路類似時，教師可引導學生從原命題的證明思路中尋找；有的命題可以從以前探討過的證明思路中確定。

A       E

D

C       B   圖2

例2：求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。        

這是《證明三》中的內容。轉化為圖形和數學語言表述如下：

已知：圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線。

求證：CD=AB

這個命題的證明不容易尋找。教師可先引導學生回顧命題

探索的過程。可得思路一。

A              D   C  E  B 圖3

    （一）延長CD到E，使CE=DE，連接EB、EA如圖2，推得四邊形ACBE是矩形，依據矩形的對角線互相平分且相等來證明這個命題。然后教師可以引導學生再回顧以前證明兩條線段相等的所有證明思路，然后可得到思路二與思路三。

（二）取BC中點E，連接DE，如圖3，推出DE是

BC的垂直平分線，依據垂直平分線的性質來證明這個定理。

（三）取BC中點E，連接DE，如圖3，推出DE∥AC。

證明△CDE≌△BDE（SAS），得CD=BD，來證明這個命題。

這個命題證明思路不是唯一，方法多樣。通過引導學生回顧

命題的探索過程，以前探討過的各種思路中尋找不同的證明思路，能發揮學生的聰明才智，開闊學生的視野，培養學生的思維能力。

b、掌握特殊的證明思路。有些命題的證明思路特殊，按一般的方法尋找是找不到的。

例3，求證：如果三角形兩邊的平方和等于第二邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。這是《證明》中的內容，轉化為圖形數語言表示如下：             A

已知：如圖4，在△ABC中，AB2+AC2=BC2                       B

求證：△ABC是直角三角形。                              圖4              C

尋找思路時，教師可引導學生探討。問：能否構造一個與△ABC全等的直角三角形？怎要構造？從而得到下面的思路。

證明思路是：構造△DEF，其中∠D=90°，DE=AB，DF=AC，如圖5，通過證△ABC≌△DEF（SSS），得∠A=∠D=90°來證明命題。這個命題的證明思路特殊，對學生而言，尋找這類命題的證明思路十分困難。教學時教師可引導學生進行探討，讓學生理解這種特殊的證明思路，

并要求學生牢記，以便掌握尋找證明思路的一些技巧。

                     

3、加強辨析過程的訓練。初中學生初步學習嚴格的證明及相關的符號化表示，出現問題在所難免，教師要重視，應加強辨析的過程訓練。

a、訓練推導能力。目的是培養學生證明出現牽強情形的識別能力。

例4，一組對邊平行且相等的四邊形是平行的四邊形。這個內容是《證明三》中的內容。轉化圖形表述如下：已知如圖6，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC。求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

出現下面的錯誤：                                   

證明：連接AC

∵ AD ∠DAC=∠BCA, ∠DCA=∠BAC

又 ∵ △DAC≌△BCA（ASA）

   ∴ AB=CD

又 ∵ AD=BC

∴ 四邊形ABCD是平行四邊形。

錯在∠DCA=∠BAC。此時，教師可引導學生討論：由AD∥BC，能否找得到∠DCA=∠BAC？在什么情況下，∠DCA與∠BAC相等？通過分析，明確錯誤所在，這樣就能加深學生對定理“兩直平行，內錯角相等”的理解。

b、應培養學生用規范的數學語言表示命題的能力。

例5，求證：在一個角的內部，且到角的兩邊距離的等的點，在這個角的平分線上。這是《證明二》中的內容。轉化為圖形和語言表示如下：                               E      A

已知：如圖7，點P在∠AOB的內部，PE=PF。                                P

求證：點P在∠AOB的平分線上。                                            

錯誤在沒有把PE與PF是點P到OA與OB的距            O                  F   B

離表述清楚。所以，教師在教學時，應認真引導辨析，

加強用規范的數學語言表示的能力。

綜上所述，命題的教學過程，只要教師緊扣依據選擇是否正確，思路尋找怎樣才能迅速，對證明過程的強辨析，給學生教了方法，命題證明這一關就能達到過關的要求。