聯(lián)想思維與問題解決

 文/李萬堂

 

一、聯(lián)想思維

問題已知與所求的溝通必須以思維尤其聯(lián)想思維的參與為橋梁，想象河的兩岸只有通過橋才相通一樣。知識(shí)通過課堂教師的講授或看書來獲得，甚至思維領(lǐng)悟來得到。但眾多紛紜的問題卻只有面對(duì)者自己來解決。問題的解決又是一種能力，它因人而異，因?qū)χ�識(shí)的理解、領(lǐng)悟不同而差異，由對(duì)問題與知識(shí)之間聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)、洞察、實(shí)現(xiàn)所決定。

二、問題解決的實(shí)質(zhì)

問題是生動(dòng)的，它各種各樣，層次分明，但它又不是孤立的，它必須處于某種情景聯(lián)系中，即問題只能是一定情景與聯(lián)系下的問題。這些聯(lián)系構(gòu)成問題存在的前提，決定著問題解決的途徑和方式，是問題得以解決的基礎(chǔ)，二者之間存在著或明或暗的必然聯(lián)系。問題解決的實(shí)質(zhì)就是溝通已知與所求，實(shí)現(xiàn)其聯(lián)系，使之具體地躍然紙上。如“求 的輻角主值”，問題之所求是“輻角主值”，已知關(guān)系式“ ”，其聯(lián)系則可以是三角的、代數(shù)的、幾何的具體求解程式。解決這一問題就是通過三角、或代數(shù)、或內(nèi)何的方法從已知“ ”邏輯地求出“輻角主值”。

三、聯(lián)系的實(shí)現(xiàn)是聯(lián)想思維的結(jié)果

問題的已知與所求之間的聯(lián)系是必然的，但不是顯見的(這種顯見性大小形成問題的難度大小)，需要面對(duì)者根據(jù)對(duì)問題的認(rèn)知通過大腦的動(dòng)態(tài)活動(dòng)邏輯地找到已知與所求的聯(lián)系點(diǎn)。而已知條件本身其靜止的一面也不會(huì)主動(dòng)伸出聯(lián)系之手，把自己與結(jié)論相接，它只有通過面對(duì)者的認(rèn)知并運(yùn)用已有的知識(shí)進(jìn)行分析，恰當(dāng)?shù)芈?lián)系性推想，從動(dòng)的角度把已知與所求聯(lián)系起來實(shí)現(xiàn)問題解決。這種聯(lián)系性推想，條件的動(dòng)態(tài)性運(yùn)動(dòng)就是聯(lián)想思維。因而說條件與結(jié)論之間關(guān)系的實(shí)現(xiàn)是聯(lián)想思維的結(jié)果。如把條件“ ”從三角的角度來認(rèn)知聯(lián)想，就有實(shí)部 ，虛部 那么相應(yīng)于輻角 ，就有 ，進(jìn)一步考慮到實(shí)部與虛部的正負(fù)情況，就有 為所求的輻角主值。把條件 從幾何的角度來認(rèn)知聯(lián)想，那么其輻角主值就是復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)向量的和向量的輻角主值，與 對(duì)應(yīng)的向量已知，和向量自然可知，輻角主值可求得，問題解決。

四、聯(lián)想思維的途徑

思維形式多種多樣，數(shù)學(xué)問題解決中的聯(lián)想思維總體上有三種：①?gòu)膶?duì)條件的認(rèn)知聯(lián)想開去，最終達(dá)到問題解決的思維。也就是常說的從已知出發(fā)運(yùn)用相關(guān)的定理、命題、逐步推出結(jié)論的綜合解題方法。如前例中由對(duì) 的充分認(rèn)知而聯(lián)想到多種解決辦法。這種思維是問題解決中常見的思維形式，也是數(shù)學(xué)過程中應(yīng)對(duì)學(xué)生著力加以訓(xùn)練、培養(yǎng)的思維形式之一。②從對(duì)結(jié)論的認(rèn)知聯(lián)想開去，尋找問題得以解決的條件，并檢索這些條件是否是題目中已給出的，或隱含的。這種思維就是常說的分析法，常用于從條件，已知不易聯(lián)想到問題的解決。如求證“ ”，由條件較難聯(lián)想，但右從結(jié)論聯(lián)想開去，就會(huì)有“ ”，步步推導(dǎo)下去就有“14＜18”為自然隱含的條件，發(fā)現(xiàn)這一條件，就不難證明“ ”，使問題解決。③從對(duì)條件和結(jié)論的充分認(rèn)知展開雙向聯(lián)想。這種形式的聯(lián)想其聯(lián)系的實(shí)現(xiàn)就是二者觸發(fā)點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)，通過觸發(fā)點(diǎn)把二者的聯(lián)系接通，實(shí)現(xiàn)問題解決。這三種聯(lián)想的途徑雖有其各自的特征，但在實(shí)際問題的解決中并非孤立，而往往交織在一起，綜合運(yùn)用才可尋找到條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，使問題得以解決。

五、聯(lián)想思維與發(fā)散思維，創(chuàng)新思維

問題解決以聯(lián)想為橋梁、恰當(dāng)、有效地聯(lián)想，有賴于對(duì)問題的充分認(rèn)知。而思維最活躍的因素，具有極強(qiáng)的動(dòng)態(tài)性與發(fā)展性，它會(huì)因認(rèn)知的不同產(chǎn)生不同的聯(lián)想，而使條件與結(jié)論之間的聯(lián)系多種多樣，表現(xiàn)出思維極大的發(fā)散性和創(chuàng)造性，甚或出現(xiàn)高于所要解決問題的聯(lián)系，導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)或?qū)κ挛镪P(guān)系的本質(zhì)、更深刻的認(rèn)知。如通過對(duì)“求 的值”的多種聯(lián)想多種求解就可以發(fā)現(xiàn)只要讓 ，對(duì)任意角 都有 這一關(guān)系的本質(zhì)性發(fā)現(xiàn)，不僅是思維表現(xiàn)出極大的發(fā)散性，而且把思維引向深刻。如“互補(bǔ)的兩角之差為 ，求較小角的余角”，通過把角向有向線段的聯(lián)想，巧妙地求出較小角的余角，解決問題，表現(xiàn)出思維的創(chuàng)新性。

A            B′      O       B       C ‘’

 (具體過程如圖：                         線段AB、BC表示互補(bǔ)的兩角，把AC對(duì)折，得中點(diǎn)O和B的重合點(diǎn)B′，則 表示兩角之差 ，較小角的余角為 )因此說實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論聯(lián)系的聯(lián)想活動(dòng)只是聯(lián)想思維中于問題解決有效的、恰當(dāng)?shù)乃季S活動(dòng)，其更有價(jià)值的深刻性成份尚有賴于條件與問題的更深刻感知。但只要在問題解決中始終堅(jiān)持著由條件、問題發(fā)生出的積極的聯(lián)想思維活動(dòng)，不僅會(huì)使面對(duì)的問題得以解決，還會(huì)使一個(gè)人的思想、思維逐步走向深刻，而發(fā)現(xiàn)更大的奧秘。

    作者：陜西省商洛市商州區(qū)紅門河中學(xué)