中華文教網移動版

       輔助線是圖形轉化的橋梁，也是學習幾何的一個特點，添加輔助線是我們在證明和解幾何題經常采用的方法，如果運用恰當，就會起到事半功倍的效果，那么如何讓它起到橋梁的作用呢？下面以四邊形中添加輔助線為例加以說明。
       一、連接點
       例1：如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P在AD上的動點，PE⊥AD于點E,PE⊥AD于F,則PE+PF的值為__________PD

 
       分析：連接OP，利用S△=S△AOP+S△DOP解答問題，因為四邊形ABCD是矩形，且AB=3,AD=4,由勾股定理的AC=BD=5。
       因為對角線互相平分
 OA=OD=5/2因為PE⊥AC,PE⊥BD,所以S△AOD=S△AOP+S△DOP=1/2AO·PE+1/2DO·PF=5/4(PE+PF)。
     又因為在矩形ABCD中，S△AOD=1/2S△ABD=1/2×1/2×3×4=3,所以5/4(PE+PF)=3,解得PE+PF=12/5
       解：填12/5
       二、有中點構造中位線
       例2：如圖2，AE為正方形ABCD中∠BAC的平分線，AE分別交BD于F,交BC于點E,AC和BD相交于O。
求證：OF=1/2CE

 
       分析：欲證OF=1/2CE,根據圖形特點，關鍵是找一條于OF相等又與CE有密切關系的線段，考慮到O是AC的中點，故取AE的中點，作△AEC的中位線，利用中位線的性質可使問題得以解決。
       證明：取AE的中點，連接ON,可得ON為△AEC的中位線所以ON∥CE,ON=1/2CE,所以∠6=∠ONE
       因為四邊形ABCD是正方形，所以∠3=∠4=45°又∠5=∠1+∠3，∠6=∠2+∠4而∠1=∠2，所以∠5=∠6故∠5=∠ONE，所以ON=OF從而可得OF=1/2CE
       三、連接菱形對角線
       例3：如圖3，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，∠B=∠EAF=60°,∠BAE=18°，求∠CEF的度數。

 
       分析：本題考查菱形的性質和等邊三角形的性質及判定，連接AC,可得△ABC為正三角形，易得∠BAE=∠CAF，△BAE≌△CAF，進而推出△AEF為等邊三角形，則∠CEF的度數即可求得。
       解：連接AC,在菱形ABCD中，可得BA=BC
       因為∠B=60°,所以△ABC、△ACD為正三角形所以∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC又因為∠EAF=∠BAC=600,所以∠BAE=∠CAF又因為∠B=∠ACF=60°，AB=AC，所以△BAE≌△CAF所以△AEF是等邊三角形又由∠AEC=∠B+∠BAE=78°可得∠CEF=∠AEC-∠AEF=78°-60°=18°
       四、平移梯形對角線
       例4：如圖4在梯形ABCD中，AD∥BC,對角線AC⊥BD,且AC=12,BD=9,則梯形的中位線長是（     ）
A、 10     B、 6      C、 15/2        D、12

 
       分析：梯形問題中，遇到對角線垂直，可平移對角線，將梯形問題轉化為平行四邊形和特殊的三角形問題后，再運用相關的性質解題A
     做DE∥AC交BC的延長線于點E，則四邊形ACED是平行四邊形，所以
DE=AC=12,AD=CE
       因為AC⊥BD,所以BD⊥DE
      在Rt△BDE中，∠BDE=900,BD=9,DE=12,AD=AE,所以
     BE=BD+DE=92+122=81=144=225
       解得BE=15.
      故梯形的中位線長=1/2（AD+BC）=1/2
       (CE+BC)=1/2BE=1/2×15=15/2
       解：選Ｃ
       總結：解決四邊形問題，常通過添加輔助線轉化為三角形問題來解決，以上是解決四邊形問題常用輔助線做法，通過作輔助線可以化難為易，化繁為簡，從而找到解決問題的途徑。
    （作者單位：云南省永勝縣永北鎮中學）