應(yīng)重視學(xué)生證明命題能力的培養(yǎng)

廣東省五華縣橋江中學(xué)  宋仁尚

數(shù)學(xué)學(xué)科是基礎(chǔ)學(xué)科之一，要求學(xué)生應(yīng)掌握這一學(xué)科的全面知識(shí)。這里就如何提高學(xué)生證明命題能力，談幾點(diǎn)粗淺認(rèn)識(shí)。

一、命題證明是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)中的難點(diǎn)。

九年義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)——初中數(shù)學(xué)教材，知識(shí)點(diǎn)、難點(diǎn)不少。命題證明就是其中一個(gè)難點(diǎn)。在教材中，《證明一》、《證明二》、《證明三》里，從若干條公理及有關(guān)定義出發(fā)，證明了平行線(xiàn)、三角形及四邊形等圖形的一些命題。作為初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，初步接觸了在合理化的體系中的命題證明。也初步接觸了嚴(yán)格證明和相關(guān)的符號(hào)化表達(dá)。因?yàn)槭浅踔袑W(xué)生，邏輯思維水平較薄弱，推理能力也相應(yīng)較低，學(xué)習(xí)命題的證明也顯得有相當(dāng)?shù)碾y度。因此，教師不能忽視這一知識(shí)點(diǎn)，而應(yīng)重視學(xué)生證明命題能力的培養(yǎng)。筆者根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)為可以從如下幾方面入手。

二、培養(yǎng)學(xué)生證明命題能力的舉措。

1、正確選擇證明依據(jù)，確保命題證明的真實(shí)性。證明命題，依據(jù)什么證明命題，那些可以作為證明的依據(jù)，必須弄明白。教師應(yīng)根據(jù)教材內(nèi)容，讓學(xué)生在具體的情況中明確命題的證明依據(jù)，只能是有關(guān)的定義，所規(guī)定的公理及已經(jīng)證明過(guò)的定理。      

1：求證：有兩個(gè)相等的三角形是等腰三角形。             

這個(gè)命題是教材里《證明二》中的內(nèi)容。轉(zhuǎn)化為             

圖形和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述如下：

已知：如圖1，在△ABC中，∠A=∠C。             

      求證：AB=AC。                            

教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生回顧命題“等腰三角形

的兩底角相等”的證明思路：把△ABC轉(zhuǎn)化為兩個(gè)

全等三角形和轉(zhuǎn)化的方法與證明的依據(jù)。并讓學(xué)生思考“依據(jù)什么證明這個(gè)命題？”讓學(xué)生思考后就可能會(huì)出現(xiàn)：

第一，依據(jù)“ASS”證明：作△ABC的中線(xiàn)AD，證明：△ABD≌△ACD（AAS），得AB=AC。或作△ABC的角平分線(xiàn)AD，證明△ABD≌△ACD（AAS），得AB=AC。

所規(guī)定的公理及已證明過(guò)的定理中沒(méi)有“ASS”，“ASS”以前探索過(guò)的假命題，出現(xiàn)依據(jù)“ASS”證明，說(shuō)明學(xué)生受前面知識(shí)干擾，思維誤正不少。為此，教師可抓住這個(gè)機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“ASS”的真假性進(jìn)行回顧，進(jìn)而辨析“用假依據(jù)證明命題能確保命題證明的真實(shí)性嗎？”這個(gè)問(wèn)題。通過(guò)辨析讓學(xué)生明確：依據(jù)“ASS”證明是錯(cuò)誤的，依據(jù)推論“AAS”證明才正確，因?yàn)椤癆AS”已經(jīng)證明過(guò)的真命題。

因?yàn)閷W(xué)生知識(shí)暫不系統(tǒng)，建立合理化體系后選擇什么作為證明命題依據(jù)，學(xué)生是把握不準(zhǔn)，常受以前探索過(guò)熟悉的命題的干擾，把沒(méi)有證明過(guò)的命題或假命題等作為證明命題的依據(jù)。因此，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生多作指導(dǎo)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)選擇證明依據(jù)的方法，使他們能正確選擇證明依據(jù)，確保命題證明的真實(shí)性。

2、迅速確定證明思路。尋找證明思路是命題證明的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。證明命題時(shí)，學(xué)生對(duì)確定命題的證明思路常出現(xiàn)毫無(wú)頭緒的現(xiàn)象，教學(xué)時(shí)不失時(shí)機(jī)地教給學(xué)生尋找證明思路的方法，讓學(xué)生有章可循，有樣可照，逐步掌握證明思路，能有效地提高證明命題的速度，提高學(xué)生推理論證能力。

a、掌握一般的尋找方法。確定命題的證明思路時(shí)，教師應(yīng)根據(jù)命題的不同情況，讓學(xué)生掌握一般的尋找方法。如：有的命題，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)回顧探討命題時(shí)使用的方法中確定；如果碰上許多互逆命題的證明思路類(lèi)似時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生從原命題的證明思路中尋找；有的命題可以從以前探討過(guò)的證明思路中確定。

例2：求證：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半。        

這是《證明三》中的內(nèi)容。轉(zhuǎn)化為圖形和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述如下：

已知：圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線(xiàn)。

求證：CD=AB

這個(gè)命題的證明不容易尋找。教師可先引導(dǎo)學(xué)生回顧命題

探索的過(guò)程。可得思路一。

    （一）延長(zhǎng)CD到E，使CE=DE，連接EB、EA如圖2，推得四邊形ACBE是矩形，依據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等來(lái)證明這個(gè)命題。然后教師可以引導(dǎo)學(xué)生再回顧以前證明兩條線(xiàn)段相等的所有證明思路，然后可得到思路二與思路三。

（二）取BC中點(diǎn)E，連接DE，如圖3，推出DE是

BC的垂直平分線(xiàn)，依據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)證明這個(gè)定理。

（三）取BC中點(diǎn)E，連接DE，如圖3，推出DE∥AC。

證明△CDE≌△BDE（SAS），得CD=BD，來(lái)證明這個(gè)命題。

這個(gè)命題證明思路不是唯一，方法多樣。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧

命題的探索過(guò)程，以前探討過(guò)的各種思路中尋找不同的證明思路，能發(fā)揮學(xué)生的聰明才智，開(kāi)闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

b、掌握特殊的證明思路。有些命題的證明思路特殊，按一般的方法尋找是找不到的。

例3，求證：如果三角形兩邊的平方和等于第二邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。這是《證明》中的內(nèi)容，轉(zhuǎn)化為圖形數(shù)語(yǔ)言表示如下：             A

已知：如圖4，在△ABC中，AB2+AC2=BC2                       B

求證：△ABC是直角三角形。                              圖4              C

尋找思路時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生探討。問(wèn)：能否構(gòu)造一個(gè)與△ABC全等的直角三角形？怎要構(gòu)造？從而得到下面的思路。

證明思路是：構(gòu)造△DEF，其中∠D=90°，DE=AB，DF=AC，如圖5，通過(guò)證△ABC≌△DEF（SSS），得∠A=∠D=90°來(lái)證明命題。這個(gè)命題的證明思路特殊，對(duì)學(xué)生而言，尋找這類(lèi)命題的證明思路十分困難。教學(xué)時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探討，讓學(xué)生理解這種特殊的證明思路，

并要求學(xué)生牢記，以便掌握尋找證明思路的一些技巧。

3、加強(qiáng)辨析過(guò)程的訓(xùn)練。初中學(xué)生初步學(xué)習(xí)嚴(yán)格的證明及相關(guān)的符號(hào)化表示，出現(xiàn)問(wèn)題在所難免，教師要重視，應(yīng)加強(qiáng)辨析的過(guò)程訓(xùn)練。

a、訓(xùn)練推導(dǎo)能力。目的是培養(yǎng)學(xué)生證明出現(xiàn)牽強(qiáng)情形的識(shí)別能力。

例4，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行的四邊形。這個(gè)內(nèi)容是《證明三》中的內(nèi)容。轉(zhuǎn)化圖形表述如下：已知如圖6，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC。求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

出現(xiàn)下面的錯(cuò)誤：                                   

證明：連接AC

∵ AD ∠DAC=∠BCA, ∠DCA=∠BAC

又 ∵ △DAC≌△BCA（ASA）

   ∴ AB=CD

又 ∵ AD=BC

∴ 四邊形ABCD是平行四邊形。

錯(cuò)在∠DCA=∠BAC。此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生討論：由AD∥BC，能否找得到∠DCA=∠BAC？在什么情況下，∠DCA與∠BAC相等？通過(guò)分析，明確錯(cuò)誤所在，這樣就能加深學(xué)生對(duì)定理“兩直平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”的理解。

b、應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示命題的能力。

例5，求證：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離的等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。這是《證明二》中的內(nèi)容。轉(zhuǎn)化為圖形和語(yǔ)言表示如下：                               E      A

已知：如圖7，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PE=PF。                                P

求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上。                                            

錯(cuò)誤在沒(méi)有把PE與PF是點(diǎn)P到OA與OB的距            O                  F   B

離表述清楚。所以，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)認(rèn)真引導(dǎo)辨析，

加強(qiáng)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示的能力。

綜上所述，命題的教學(xué)過(guò)程，只要教師緊扣依據(jù)選擇是否正確，思路尋找怎樣才能迅速，對(duì)證明過(guò)程的強(qiáng)辨析，給學(xué)生教了方法，命題證明這一關(guān)就能達(dá)到過(guò)關(guān)的要求。