李定明

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的兩大支柱，它們之間存在著既對(duì)立又統(tǒng)一的關(guān)系。辯證地以數(shù)表形和以形示數(shù)是探索和解決數(shù)學(xué)問題的重要途徑。忽視任何一面都將數(shù)學(xué)變得殘缺不全。“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”這正是我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)“數(shù)”與“形”的關(guān)系的最形象的概括。

“數(shù)形結(jié)合”其實(shí)質(zhì)就是把數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來，既把代數(shù)中的精確刻畫與幾何圖形中的直觀描述結(jié)合起來，從而使幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題幾何化，進(jìn)而使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，這樣可以使許多復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。如高中數(shù)學(xué)的解析幾何就是通過坐標(biāo)系把“數(shù)”與“形”進(jìn)行轉(zhuǎn)換，是數(shù)形結(jié)合的最成功、經(jīng)典的例子。當(dāng)然新課標(biāo)下的“向量”也是數(shù)形結(jié)合的新“橋梁”。

我們熟知，“數(shù)形結(jié)合”作為我們解決數(shù)學(xué)問題的重要方法之一。在解決有關(guān)代數(shù)問題時(shí)，可尋找揭示內(nèi)部的內(nèi)體背景，啟發(fā)思維，找到解題途徑；在解決幾何問題時(shí)也可從代數(shù)的角度，通過數(shù)量關(guān)系的研究來解決問題。運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”這個(gè)思想方法應(yīng)注意那些問題呢？

一、優(yōu)先考慮圖形的直觀性。

例：方程2-x+x2=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為                   。

解析：如圖，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出y=2-x和y=-x2+3的圖象

由圖可知，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程2-x+x2=3有兩個(gè)根。

此題如果只考慮一般的代數(shù)方法求方程的方法來求是不適宜的，

甚至得不出正確的結(jié)果。

二、充分注意圖形的完備性。

應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”解題時(shí)要養(yǎng)成良好的習(xí)慣，善于從圖中觀察，找出規(guī)律，尋找答案，但有些數(shù)學(xué)問題用圖形來反映時(shí)并不唯一，因此需要我們?cè)诮忸}時(shí)作出不同的圖形，用“數(shù)形結(jié)合”與分類討論的思想解決，以防出現(xiàn)解題的片面性。

例：已知A、B、C是橢圓M：    +     =1(a＞b＞0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2    ，0），直線BC過橢圓M的中心，且

 ·  =0，｜｜=2｜｜。

⑴求橢圓M的方程。

⑵過點(diǎn)M（0，t）的直線L（斜率存在時(shí)）與橢圓M交于兩點(diǎn)P、Q，設(shè)D為橢圓M與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且｜｜=｜｜，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

分析：此題如果不考慮“數(shù)形結(jié)合”，只對(duì)題目本身分析很難找到解題思路，況且第⑵小節(jié)明顯還應(yīng)對(duì)k作分類討論，那么分類的分界點(diǎn)在那，分多少類就成了關(guān)鍵，而“形”會(huì)給我們很好的回答。這就是解題的完備性。

略解：⑴｜｜=2｜｜，且直線BC過（0，0）

則｜｜=｜，又∵ ·=0，∴∠OCA=90°，

即C（，）又a=2    ，因此可設(shè)M：    +        =1，

將C點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

     +         =1，解得C2=8，b2=4  ∴橢圓M：    +    =1，

⑵ 由條件D（0。—2），M（0，t）

1°：當(dāng)k=0時(shí)，顯然-2＜t＜2 .

2°：當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)L：y=kx+t .由

消去y得：（1+3k2)x2+6ktx+3t2-12=0

由△＞0可得，t＜4+12k2

設(shè)P（x1,y1), Q(x2y2), PQ中點(diǎn)H（x0, y0)則

x0=         =          ,y0=kx0+t=         ,

∴H(-         ,        ),由｜｜=｜｜，

∴DH⊥PQ即KDH= —    ,∴(         +2)÷(—        ) =—

化簡(jiǎn)得：t=t+3k2 ②∴t＞1,將②代入①得：1＜t＜4,∴t的范圍是（1，4），

∴綜上10、20得t∈（-2，4）。

三、適時(shí)運(yùn)用數(shù)式的精確性。

“形象直觀”是“形”的優(yōu)點(diǎn)，但這“優(yōu)點(diǎn)”不能代替數(shù)學(xué)問題的正確答案。只在通過對(duì)“形”的分析，挖掘代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，把幾何問題再轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，結(jié)合“數(shù)”的精確運(yùn)算，才能求出正解。這就是“精確性”。

例：若x∈(1, 2 )時(shí)，不等式（(x-1)2＜logα x恒成立，

則α的取值范圍為（    ）。

A.(0, 1)   B.(1, 2)  C. (1, 2)    D.(1, 2)

解析：令y1=(x-1)2, y2=logα x, α＞1, 

兩函數(shù)圖象如圖所示，顯然當(dāng)x∈(1, 2 )時(shí)，

要使 y1＜y2 ， 只需使logα2≥(2-1)2 , 即α≤2，

綜上可知當(dāng)1＜α≤2時(shí)，

不等式(x-1)2＜logα x對(duì)x∈(1, 2 ) 恒成立.

若0＜α＜1, 兩函數(shù)圖象如下圖所示,顯然當(dāng)x∈(1, 2 )時(shí),不等式 (x-1)2＜logαx恒不成立.

可見應(yīng)選C。

四、時(shí)刻關(guān)注轉(zhuǎn)化的等價(jià)性。

“形”可揭示“數(shù)”的本質(zhì)，“數(shù)”可解決“形”的精確性，應(yīng)用時(shí)要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性。 

例：曲線y=1+        (x∈[ -2,2 ])與直線y=k(x-2)+4有兩個(gè)公共點(diǎn)，k的取值范圍是（    ）

A、（0，   ）    B、（    ,    ）  C、（    ，+∞ ）   D、（     ，    ）

分析：事實(shí)上不難看出，曲線方程y=1+        (x∈[-2, 2]的圖象為x2+(y-1)2=4(-2≤x≤2, 1≤y≤3)，表示以（1，0）為圓心，2為半徑的上半圓（含半圓端點(diǎn)），直線y=k(x-2)+4過定點(diǎn)（2，4），那么斜率的范圍就清楚了。

略解：將方程y=1+        ( (x∈[-2, 2] )轉(zhuǎn)化為方程

x2+(y-1)2)=4 (-2≤x≤2, 1≤y≤3),作出對(duì)應(yīng)的圖形，

如圖，又直線y=k(x-2)+4過定點(diǎn)（2，4）

若直線過點(diǎn)A（-2，1），則可求KPA=   

由圓心（0，1）到直線的距離為2，所以有2=             解得 k=     ，故選D。

五、靈活把握數(shù)與形的互動(dòng)性。

解題時(shí)應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論等之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過研究其數(shù)字特征和幾何特征，使數(shù)量關(guān)系和空間形式有機(jī)地結(jié)合起來，從而找到解決問題的途徑和方法。

例：如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD

⑴求線段PD的長(zhǎng)；

⑵若PC=      R，求三棱錐P-ABC的體積。（2008年，廣東高考題）

分析：此題巧妙地把立體幾何與平面幾何知識(shí)結(jié)合在一起，充分體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法的“互動(dòng)”運(yùn)用：在證明線面垂直時(shí)，即尋找證明直線PD⊥面ABCD的條件時(shí)，又要根據(jù)PD、CD、PC之間的數(shù)量關(guān)系，即由：PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2，故由勾股定理可得△PCD為Rt△pcd 從而證得PD⊥CD。

略解：⑴∵BD是圓的直徑，

∴∠BAD=90°，又△ADP∽△BAD， 

∴      =

DP=       =                      =            =3R

⑵在Rt△BCD中，CD=BD， cos45°=    R

∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2， ∴PD⊥CD，

又∠PDA=90°，即PD⊥AD，AD∩CD=D

∴PD⊥底面ABCD，S△ABC=   AB · BC · sin (60°+45°)

                        =   R ·    R（    ×    +     ×     ）

                        =         R2

∴三棱椎P-ABC的體積為VP-ABC —   S△ABC · PD=   ·        · R2 ·3R=       R3

“數(shù)形結(jié)合”思想方法在高中數(shù)學(xué)甚至是在高考中占有非常重要的地位.如果能隨時(shí)注意以上五點(diǎn),巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題,可起到事半功倍效果.

                                      (作者單位:廣東省五華縣水寨中學(xué))